Equation degré 3 ; pouvez-vous m'aider à simplifier les solutions ?

Question

Bonjour,
J'ai appliqué la méthode Viète sur "x^3+x=1"

J'obtiens x=(1/3)*(2/(-1+racine(31/27)))^(1/3)-((-1+racine(31/27))/2)^(1/3)

(J'ai vérifié avec Excel, numériquement elle marche.)

Je pourrais réduire au même dénominateur (mais je fais des erreurs de calcul puisque les résultats ne marchent pas sous tableur), puis factoriser dans la première équation pour ensuite trouver les deux racines du polynôme de degré 2 qui reste. (Elles sont différentes, puisque la dérivée a des racines complexes qui ne sont pas solution de l'équation initiale.)

Mais en attendant, peut-on simplifier x ?
(qui même si on réduit au même dénominateur est une soustraction de deux racines cubiques, désolé pour la présentation)

? · Accepted Answer

L'écrasante majorité des équations du n-ième degré (n>1) n'ont pas de simplification en une forme algébrique. Ce qui en quelque sorte est une illustration du fait qu'il ait été prouvé qu'il n'existe pas de formules générales "sans racines" pour résoudre une équation polynomiale à coefficients arbitraires. Même pour ceux qui n'auraient que des racines réelles. En plus pour les équations du troisième degré la méthode habituelle pour trouver les trois racines c'est de choisir toutes les trois racines cubiques possibles (et les racines carrées aussi peuvent être choisies arbitrairement), donc faut pas espérer trop toucher aux racines, cette structure de la formule c'est pas juste un hasard.

Alexandre · Answer

Sauf erreur de ma part on peut utiliser la méthode de Cardan, et je ne trouve pas de simplification esthétique.

la console · Answer

x³ + x = 1

x³ + x - 1 = 0 → vous posez: x = (u + v)

(u + v)³ + (u + v) - 1 = 0

[(u + v)².(u + v)] + (u + v) - 1 = 0

[(u² + 2uv + v²).(u + v)] + (u + v) - 1 = 0

[u³ + u²v + 2u²v + 2uv² + uv² + v³] + (u + v) - 1 = 0

[u³ + v³ + 3u²v + 3uv²] + (u + v) - 1 = 0

[(u³ + v³) + (3u²v + 3uv²)] + (u + v) - 1 = 0

(u³ + v³) + 3uv.(u + v) + (u + v) - 1 = 0 → vous factorisez (u + v)

(u³ + v³) + (u + v).(3uv + 1) - 1 = 0 → supposez que: (3uv + 1) = 0 ← équation (1)

(u³ + v³) + (u + v).(0) - 1 = 0

(u³ + v³) - 1 = 0 ← équation (2)

Vous obtenez alors un système de 2 équations :

(1) : (3uv + 1) = 0

(1) : 3uv = - 1

(1) : uv = - 1/3

(1) : u³v³ = - 1/27

(2) : (u³ + v³) - 1 = 0

(2) : u³ + v³ = 1

Changement d'inconnue : U = u³

Changement d'inconnue : V = v³

Vous obtenez un système équivalent :

(1) : UV = - 1/27 ← ça c'est le produit P

(2) : U + V = 1 ← et ça, c'est la somme S

Et vous savez que U et V sont les solutions de l'équation :

x² - Sx + P = 0 ← attention, ne confondez pas avec votre équation du début

x² - x - (1/27) = 0

Δ = (- 1)² - [4 * (- 1/27)]

Δ = 1 + (4/27)

Δ = 31/27

x₁ = [1 + √(31/27)]/2 ← ça c'est U

On a posé : u³ = U → u³ = x₁ → u = x₁^(1/3)

x₂ = [1 - √(31/27)]/2 ← ça c'est V

On a posé : v³ = V → v³ = x₂ → v = x₂^(1/3)

On a posé : x = u + v

x = x₁^(1/3) + x₂^(1/3)

x = { [1 + √(31/27)]/2 }^(1/3) + { [1 - √(31/27)]/2 }^(1/3)

x ≈ { 1,01178014187732 } + { - 0,329452338049298 }

x ≈ 0,.682327803828019

☧irate du ♡ en croisière ♠☮♪ · Answer

C'est une question pour examen d'entrée à la maternelle, non ?

Equation degré 3 ; pouvez-vous m'aider à simplifier les solutions ?

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