L’infini existe-t-il?

Je ne crois pas qu'il faille séparer l'infini du reste. Est-ce que 12 existe ?

Ce n'est qu'une construction mentale.

Tellement évidente que ça choque quand on le dit.

On a envie de penser "mais enfin, si l'homme n'existait pas, il y aurait quand même 12 étoiles dans tel groupe d'étoiles". Sauf, que, non. Si l'homme n'existait pas, les lois de la physique existeraient quand même. Mais pas les maths, et pas le nombre 12.

Certes, ce n'est pas une invention géniale. C'est une invention même évidente (la preuve, le nombre 12 a été inventé indépendamment par quasiment toutes les civilisations isolées).

Mais c'est quand même une invention.

L'arithmétique est une invention. Ce qui est paradoxal quand on sait qu'on dit aussi que c'est le seul langage universel (dans Contact, par exemple, les nombres premiers sont considérés comme un code universel. Et les scientifiques — il y en a, certains même pas trop charlatans — qui réfléchissent à la façon de parler à des aliens s'appuient vraiment sur des variantes de la même idée que l'arithmétique existe probablement dans toute civilisation assez avancée pour nous parler).

Mais aussi universelle soit probablement cette idée d'arithmétique, de 1+1=2, de 12, et même de l'infini, elle n'existe que dans le cerveau des hommes, et peut être des aliens qui l'inventent indépendamment.

Donc, pour moi l'infini existe au même titre que 12 ou que i

Une fois qu'on a posé les règles, établi un système axiomatique cohérent, c'est un objet abstrait, mathématique, comme un autre. Un objet d'une science exacte. Qui n'est donc pas soumis aux basses réalité matérielles comme la vitesse de la lumière, puisqu'il n'existe pas dans la réalité matérielle (rien de ce qu'on connait d'ailleurs n'existe dans la réalité. La réalité nous est inaccessible. Les sciences expérimentales établissent des modèles à partir de c e que Kant appelait les phénomènes. Les sciences exactes n'ont pas besoin de modèles, car leur objet n'est pas la réalité, mais des objets de ce que, toujours Kant, appelait la raison pure)

Cela dit, il faut quand même noter que la réponse à la quasi-totalité des "gotcha questions" (les "que vaut ∞/∞, et autres ∞×0, ∞⁰, ...) que j'ai vu sur ce forum à propos de l'infini, est "la question n'a pas de sens car l'infini n'existe pas". Car dans le groupe usuel des nombres (qui certes n'est qu'un groupe, pas plus valable qu'un autre. Mais du moment où on pose une question en utilisant les notions définies dans ce groupe, et sans préciser un changement  de règles...) ∞ n'est pas un nombre.

Ce n'est qu'une notation utile pour ne pas avoir à faire deux cas particuliers dans certaines définitions (autour des limites par exemple). Et encore, même avec cette notion, on est souvent obligé de distinguer le cas "lim x→l" et le cas "lim x→∞". Mais au moins la notation est la même.

Bref, non, l'infini n'existe pas dans la réalité (ce qui n'est pas une affirmation que rien n'est infini. Par exemple, je ne prétends pas par là que l'univers est borné, ou que toute vitesse a une vitesse limite). Mais 12 non plus. i non plus.

Les maths sont une invention humaine. Elles n'existent, comme la poésie ou les règles du football que dans nos têtes.

Si Dieu le père descendait du ciel, et disait "E n'est pas égal à mc²", on serait bien forcé d'admettre qu'on s'est planté qqpart. Et de répondre "Ah, désolé. Ça collait bien pourtant, mais on n'a vu que quelques phénomènes. C'est Toi qui sais après tout".

Mais s'il disait "2+2 ne font pas 4", là ben on lui répondrait "Ah non : l'univers c'est Toi, mais les maths c'est nous. 2+2 font 4, puisqu'on l'a décidé ainsi". Ce serait aussi absurde que s'il venait dire "un but hors jeu compte quand même", ou "le participe passé se conjugue avec l'auxiliaire avoir". Il n'a pas crée le foot quand même (certains diront qu'il l'a inspiré, peut être. Mais les règles sont bien des règles humaines). Il peut nous ordonner de changer les règles (moi qui suis athée, et serais donc dans mes petits souliers si Dieu le père apparaissait, je m'empresserais de changer toutes mes équations pour prendre en compte la nouvelle valeur de 2+2 et à maudire les instits qui m'ont enseignéS à conjuguer les participes passés). Mais ça n'enlèvera rien à ce qu'elles sont maintenant.

C'est la différence entre ce qui existe et n'existe pas. Entre la réalité et les créations humaines. La réalité on ne la décide pas. Les créations humaines ont les décide. On a inventé ∞ et le reste des maths. On décide quand ça existe (en géométrie projective, par exemple, où ∞/∞=1), et quand ça n'existe pas.

Je poserais la question préalable : qu'est-ce que "exister".

Un tel être mathématique existe-t-il ?

Si oui, est-il réel ? Au sens des nombres, non, mais c'est une notion bien utile, souvent simplificatrice dans la formulation mathématique.

Si le réel est le monde physique, alors effectivement l'infini n'existe pas.

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@Gonzo :

Non, il n'existe dans notre système décimal que 9 CHIFFRES au-delà de 0 pour écrire les nombres :

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Je viens de tomber sûr votre question... Je suis nulle en maths mais je vais me l'approprier d'une autre façon. En relisant des vieilles légendes égyptiennes, j'ai été frappée par la circularité de la pensée ancienne. Tout fonctionne par cycles, le symbole du cercle est omniprésent, y compris dans la représentation du ciel. Nouth encercle la terre. Le monde y est totalement fini, clos sûr lui-même. Et ça explique la nécessité de combattre le chaos qui lui vient déchirer le monde (au sens propre) pour le dévorer et donc rompre le cercle. Rompre le cercle et donc l'ouvrir vers un ailleurs inconnu où les règles ne s'appliquent plus. Je me suis alors demandée comment ils avaient pu résoudre le paradoxe que leur posait l'infini de l'immortalité. La vie ne se finit jamais chez les anciens: on poursuit son existence dans les enfers qui, n'étant pas chrétiennes, n'étaient pas infernales. Comment jonglaient-ils avec cette conception de l'immortalité et un monde clos sûr lui-même ? De prime abord, ça me semblait complètement contradictoire. Et je me suis souvenue que l'on pouvait régler la question avec le destin. Si le destin existe: il clôt l'infini. L'infini des possibles devient un seul et unique événement prédéterminé que l'on est obligé de vivre car ainsi l'ordre est maintenu. Et là... Je me suis quand même dit qu'on avait eu vachement du bol qu'un fou de mathématicien ait trouvé plus pratique/commode/élégant d'imaginer une solution à l'univers qui puisse l'ouvrir sans qu'il se fasse bouffer par le chaos et que d'autres tarés de philosophes aient trouvé que l'infini c'était vachement plus fendard que le destin pour y projeter l'humanité.^^ Donc, je n'ai rien contre les théories. C'est très pratique. Mais est-ce que vous comptez passer à la pratique que je prenne dare-dare le premier billet direction Mars? Histoire, comme dans les contes, d'échapper à mon destin?^^

Les maths c'est les maths et la physique c'est la physique.

Les maths sont utiles pour comprendre la physique.

Je vois pas le souci.

on peut considérer qu'il existe une infinité de chiffres au-delà de zéro , dans le réel.

mais l'infini lui ne l'est pas , dans le réel.

c'est une définition. IR = ]-oo , +oo[ ou  l'infini y est exclu. ainsi l'ensemble IR est fait.

mais rien ne t'empêche de créer toi même ton ensemble avec l'infini compris dans ton ensemble.

c'est tout à fait possible en math.

mais , ça ne sera pas IR, l'ensemble des réel, qui à déjà sa définition

@tchern.

c'est pas de la philo mais de la linguistique. ça ne répond a rien au fond en fait et ne change pas le fond dont je mentionne