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que peut-on dire sur cette suite?
soit U(n+1) = exp(-U(n)) / U(n)
U(0) = 1/1000
La sous-suite des indices pairs semble avoir comme limite 0
La sous-suite des indices impairs semble avoir comme limite +infini
Je cherche une idée pour la démonstration car cela devient compliqué par récurrence ...
Merci par avance
2 réponses
- ?Lv 7il y a 8 ansRéponse favorite
pas de réponses en 6 j , tu devras trouver tout seul j'en ai peur :/
- Kishi-Duo-DumasLv 5il y a 7 ans
Bonjour,
utilise le développement limité de exp(x) au voisinage de 0 = 1 + x + o(x)
Pose A = 1000, u0 = 1/A
tu trouveras :
A-1 <= u1 <= A
Ensuite appliques la fonction décroissante f(x) = exp(-x)/x aux bornes de u1
tu obtiendras : 1/Aexp(A) <= u2 <= 1/(A-1)exp(A-1)
Fais de même jusqu'à u4.
Tu vois alors que vn <= u(2n) <= wn
avec v0 = 1/A et vn = v(n-1)/exp(1/v(n-1))
et w0 = 1/(A-1) et wn = w(n-1)/exp(1/w(n-1))
Tu peux ensuite :
1/ démontrer par récurrence que vn <= u(2n) <= wn
2/ trouver les bornes de u(2n+1) qui sont f(wn) et f(vn) soit encore 1/wn <= u(2n+1) <= 1/vn
LÃ , le gros du boulot est fait
vn et wn sont positives et décroissantes avec v0 et w0 entre 0 et 1, donc --> 0
Tu peux ensuite facilement conclure : u(2n) --> 0 et u(2n+1) --> infini.
Dsolé, je n'ai pas de démonstration plus courte.
Bon courage.
