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perpendicularité et orthogonalité?
En géométrie, selon l'acception courante, deux droites sont orthogonales si leurs directions forment un angle droit, et perpendiculaires si elles sont orthogonales et sécantes.
Dans le plan, deux droites orthogonales sont toujours perpendiculaires.
(vos remarques éventuelles concernant ces affirmations sont les bienvenues)
Or, la hauteur d'un triangle est généralement définie comme la droite passant par un sommet du triangle et perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.
Au vu de la distinction insistante établie entre "perpendicularité" et "orthogonalité", je suis gêné par une telle définition.
En effet, le côté d'un triangle est un segment et non une droite. Dans le plan, une droite et un segment peuvent être orthogonaux sans être perpendiculaires. C'est le cas pour deux hauteurs d'un triangle obtusangle.
À votre avis, faut-il revoir la définition précédente de la hauteur d'un triangle ?
Deux hauteurs d'un triangle obtusangles ne coupent aucun côté du triangle ; elles ne sont donc pas perpendiculaires à un côté du triangle.
3 réponses
- Y BLv 6il y a 1 décennieRéponse favorite
Il me semblait, d'après mes vieux souvenirs, que l'orthogonalité était la généralisation de la perpendicularité à un espace vectoriel de dimension quelconque. Et donc une notion purement vectorielle.
En géométrie plane, ces deux notions sont donc parfaitement équivalentes à mon sens. En géométrie dans l'espace, deux droites peuvent être orthogonales et non sécantes. Dans ce cas, l'une des deux appartient à un plan perpendiculaire à l'autre ( ou exprimé en termes d'espace vectoriel, la deuxième droite vectorielle appartient à l'orthogonal de la première).
On pourrait éventuellement dire, pour être parfaitement rigoureux, que la hauteur d'un triangle est la perpendiculaire à la droite prolongeant le coté opposé. Mais la distinction sur le fait qu'elle se coupent où non est sans importance ici, il ne s'agit que de "prolonger" le coté.
Un triangle définissant un plan, la définition actuelle qui s'appuie sur l'équivalence perpendicularité/orthogonalité me va donc très bien !
P.S. : autre argument en faveur du status quo : la simplicité. La hauteur d'un triangle est souvent utilisée dans des applications pratiques (calcul de surfaces, etc..). Et les perpendiculaires, tout le monde connait ça depuis l'école primaire. L'utilisation de notions simplificatrices rend service à tout le monde !
- il y a 1 décennie
Tu dois en effet revoir ta définition de hauteur à mon avis.
En effet, celle que tu as cité est celle que l'on dit tout le temps par 'abus de langage', et qui s'applique à la plupart des triangle ...
Et j'imagine que tu n'est pas sans savoir que : un segment est une section d'une droite (d) défini par deux points appartenant à (d).
La hauteur d'un triangle est la droite passant par un sommet du triangle et étant perpendiculaire à la droite dont est issu le côté opposé.
Autrement dit, dans un triangle ABC, la hauteur issu de B coupe la droite (AC) perpendiculairement.
En fait, si on revient vraiment aux sources, on s'aperçoit qu'un triangle est formé de droites, et non de segments.
En effet, la définition la plus "puriste" du triangle est :
Un triangle est un objet géométrique formée de trois droites sécantes et non concourantes.
Et c'est finalement de cette définition qu'on tire la définition de la hauteur et de beaucoup d'autres choses, et c'est parce qu'on oubli trop souvent cette définition qu'on se pose des problèmes comme celui là ...
En espérant avoir éclairé ta lanterne et ne pas t'avoir mis sur une fausse route :)
Source(s) : Les cours de Mathématiques du collège/Lycée ne devrait jamais être oublié. - Anonymeil y a 1 décennie
Â
… et bien, utilise l'adjectif 'normal(e)' …
Â
Source(s) : [je crois bien que personne (ou presque) ne fait de distingo]
