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Combien de temps pour cet exercice d'évaluation de première S?
On considère dans le plan orienté, un triangle quelconque ABC direct (sur la figure, le segment BC est horizontal et orienté de gauche à droite). Sur les côtés [AB] et [AC] on construit les carrés respectifs directs AEDB et ACFG .
Soient O et O’ les centres respectifs de ces carrés et I le milieu de [BC].
Démontrer que le point I est équidistant des centres O et O’ et que les droites (IO) et (IO’) sont orthogonales.
J'ai testé cet exercice, et j'avoue avoir pataugé quelque temps avant de trouver une méthode puissante qui permet d'effectuer la démonstration en une dizaine de minutes. Mais un élève de première S est-il capable de la mettre en oeuvre ? Merci de me donner votre avis sur le niveau requis.
Nota : La meilleure réponse sera choisie principalement suivant la qualité des avis, tout en tenant compte de la (ou des) démonstration(s) effectuée(s) (je pense que votre avis a moins de chance d'être pertinent si vous ne réussissez pas l'exercice).
L'exercice n'est pas lié à un chapitre du programme de première. C'est bien là que réside sa difficulté, d'autant plus que les étapes de la démonstration ne sont pas mâchées comme dans la majorité des exercices du même genre.
4 réponses
- spiritmoiiLv 5il y a 1 décennieRéponse favorite
Je dirais 30 minute, ca laisse le temps de chercher un peu.
Démo: on place un repère orthonormé au milieu de [BC] telle que B=(XB,YB)=(-m,0);C=(m,0) et A=(a,b)
On calcule les points D et F. BD orthogonale à BA et |BD|=|BA| => D=(XB-(YA-YB)=(-m-b,a-(-m)); F=(m+b,m-a).
On calcule ensuite les 2 centres : O=((-m-b+a)/2,(a+m+b)/2); O'=((m+b+a)/2,(m-a+b)/2)
OX=-O'Y
OY=O'X
comme l=(0,0)
on a bien I est équidistant des centres O et O’ et les droites (IO) et (IO’) sont orthogonales.
Source(s) : Parfois même la géométrie analytique n'est pas barbare. - il y a 1 décennie
Le meme exercise nous a ete donne en premiere S pour une duree de 30 min. (Je suis etudiante au Liban)
- gianlinoLv 7il y a 1 décennie
C'est l'exo 3 31 du lien. C'est du délire en 1 ère S sans indication supplémentaire.
Source(s) : http://lm250.fr/LM3232009-10envoi2.pdf - ?Lv 7il y a 1 décennie
J'imagine que l'exercice se rapproche d'un chapitre particulier du programme de 1er S.
De quel chapitre s'agit-il ? (afin de proposer la résolution avec la méthode idoine).
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Ah ok.
Il me semble (dans mes souvenirs un peu lointains) que l'on travaille un petit moment sur le produit scalaire en 1er S, alors je suis parti là-dessus.
J'ai déroulé les calculs "bourrins" et j'ai trouvé les résultats attendus.
1°)
Pour montrer que (IO) et (IO') sont perpendiculaires il suffit de montrer que le produit scalaire d'un vecteur sur (IO) et d'un vecteur sur (IO') est nul.
Je prends donc IO et IO' (je laisse tomber les flèches, sinon ça va devenir pénible).
IO = IA + AO
IO' = IA + AO'
=>
IO.IO' = (IA+AO) . (IA+AO')
I est le milieu de [BC], donc IA = 1/2 (BA+CA) (diagonale d'un parallélogramme)
AO = 1/2 (AE+AB)
AO' = 1/2 (AC+AG)
Il suffit alors de remplacer dans le produit scalaire précédent, de développer l'expression puis de la réduire (je passe les calculs, c'est juste de la mécanique)
Et on se retrouve avec l'égalité suivante :
=>
IO.IO' =1/4 ( AE.AG + AB.AC )
AE.AG = ||AE||*||AG||*cos(GAE)
AB.AC = ||AB||*||AC||*cos(BAC)
Par construction ||AE|| = ||AB|| et ||AG|| = ||AC|| (2 carrés)
=>
4*IO.IO' =||AB|| * ||AC|| * ( cos(GAE) + cos(BAC) )
Les angles EAB et CAG font pi/2 (2 sommets de carrés)
donc GAE = pi - BAC
et cos(pi-a) = -cos(a)
=>
4*IO.IO' = ||AB|| * ||AC|| * ( 0 ) = 0 CQFD
2°)
Pour montrer que [IO] et [IO'] sont de même longueur, il suffit de montrer que IO²-IO'² = 0.
On y arrive en utilisant la même méthode que précédemment :
IO²-IO'² = (IA+AO)² - (IA+AO')² = (2*IA+AO+AO') . (AO-AO')
puis en remplaçant par :
IA = 1/2 (BA+CA)
AO = 1/2 (AE+AB)
AO' = 1/2 (AC+AG)
En développant puis en réduisant on retombe à nouveau sur AE.AG + AB.AC, qui est nulle.
On en déduit que IO² = IO'²
Cette solution n'est pas très élégante mais je pense qu'elle est à la portée d'un élève de 1er S.
Je vois 3 difficultés :
- Penser à exprimer IA comme la demie diagonale d'un parallélogramme.
- Montrer que AE.AG + AB.AC = 0 en passant aux cosinus.
- Dérouler les calculs sans faire d'erreur. Ils ne sont pas très compliqués mais il y a toujours la possibilité de faire une erreur de signe.
A part ces 3 points, j'ai fais dans le bourrin (comme je le disais plus haut).
Je n'ai pas pensé à regarder ma montre mais ça ne m'a pas pris plus d'un quart d'heure pour réaliser les développements.
Intuitivement j'ai exprimé tous mes vecteurs en partant de A (vu que c'est le coin commun aux 2 carrés) je ne sais pas si un élève de 1ère S aurait tout de suite ce réflexe ; sans doute va-t-il tourner en rond un petit moment.
