Existe-t-il dix nombres entiers naturels différents dont la somme des inverses est 1 ?

a l'évidence 1/2+1/3+1/6=1

ensuite 1/2+1/2(1/2+1/3+1/6)=1/2+1/4+1/6+1/12=1

etc.. 1/2+1/2(1/2+1/4+1/6+1/12)=1

par ce procédé de construction on est assuré de ne jamais introduire de numérateur déja rencontré.. on s'arrete quand on en a 10..

zenith u're right tu as raison premierement la preuve c'est qu'il y a qlq un qui a dis 1/2 et il n'a meme pas figure' qu'il sagit des nombres naturels pas reel, so anyways i do love maths too and i love questions well asked.

Je la trouve bien posée au contraire, le but est de savoir si on peut trouver 10 nombres entiers différents (appelons les a, b, c, d ...) dont la somme de leur inverses fait 1: 1/a + 1/b + 1/c ... + 1/j = 1

-N n'est pas l'inverse de N mais son opposé.

je ne connais pas la réponse, mais voici des sites pour les amateurs de maths.

http://perso.orange.fr/therese.eveilleau/

http://www.ilemaths.net/

http://fr.wikipedia.org/wiki/Math%C3%A9matiques

http://carredas.free.fr/

http://www2.educnet.education.fr/maths/

Oui, ç a y est c'est encore plus simple que je ne le supposais au départ !! Et dire que je començais à penser à des équivalences de sum{k app. |N | k premier}...

C'est de l'arithmétique élémentaire ! Démonstration très détaillée :

Soit P un ensemble fini non nul de nb premiers. Alors si |P|>1, la somme de leurs inverses est N/D où D vaut le produit des nb de P et N la somme des |P| distincts produits de tous les éléments de P sauf d'un (par simplification d'une somme de fractions !). Si |P|=1, la conclusion est évidente mais peu importe, c'est |P|=10 qui nous intéresse.

Maintenant, montrons que quelque soit P, N/D est différent de 1. Pour cela, il suffit de voir que N n'est divisible par aucun élmt de P et donc que N diffère de D.

Soit p app. à P. Alors p|prod{k app. P | k diff. p'} pour tout p' de P\{p} (puisque l'un des "k" vaut p). Et donc p divise la somme S de ces |P|-1 produits. Par-contre p ne divise pas prod{k app. P | k diff. p}. D'où p ne divise pas la somme totale St de ces |P| produits : on s'en convaint facilement par l'absurde : si p|St, comme p|S alors p|(St-S), or St-S=prod{k app. P | k diff. p} d'où contradiction. Enfin par définition de St, St=N (vu plus haut). D'où N diff. D (puisque p|D). D'où la somme est différente de 1 et ce, que |P| vale 10 ou non (c'était une bonne idée pour brouiller les pistes !). C.Q.F.D.

1 heure plus tard : Arggh, il y a plus simple !!

On utilise tout de même les N et D définis plus haut, où N/D=sum{1/p | p app. P} avec |P|=10. De deux choses l'une :

1) Soit 2 app. à P et alors D est pair et N est impair : en effet, les prod{k app. P | k diff. p} où p app. à P mais diff. de 2, sont pairs tandis que prod{k app. P | k diff. 2} est impair _un produit de nb impairs est impair_ et donc la somme de tout ça (N) est impaire.

2) Soit 2 n'app. à P et alors D est impair et N est pair : en effet, tous les prod{k app. P | k diff. p} où p app. à P, sont impairs et donc leur somme (N) est paire _la somme d'un nb pair de nb impairs est paire.

Dans tous les cas, N diff. de D, CQFD

(cette démo n'est valable que losque |P| est pair par-contre !)

50-25-24-21-11-10-9-6-2-1 = 1

oui

Inverse pour quelle opération ?

Pour l'addition, l'inverse d'un nombre N est -N

Pour la multiplication, c'est 1/N

Pour la puissance X, c'est racine Xième

Ta question n'est pas assez précise.

Comme souvent ici, ou les questionneurs ne connaissent rien aux mathématiques.

oui bien sûr!

Pitié pas à cette heure ci !