Algèbre modulaire pouvez-vous vérifier mon calcul ?

Question

Si je fais 26320^5 MOD 19109 je trouve b=9958
Si je fais 3*15053 MOD 18816 je trouve 1.
Si je fais 9958^15053 MOD 19109 je trouve 7211
(à la fois par la calculatrice Windows8 et par fr.planetcalcul.com/8326 ; alors que je devrais retrouver 26320 et non 7211)
Où est l'erreur ?

oyubir · Accepted Answer

Ben oui. 26320. Cad 7211.
C'est la même chose dans ℤ/19109ℤ !

26320 ≡ 7211 [19109]

Donc, oui, 26320^18816 ≡ 1 [19109]
Donc 26320^(k*18816) ≡ 1 [19109] ∀ k
Donc 26320^(k*18816+1) ≡ 26320 ≡ 7211 [19109] ∀ k
Dit autrement 26320ˣ ≡ 26320 ≡ 7211 [19109] ∀ x tq x≡1 [18816]

C'est notamment le cas de x=75265=5*15053

Donc 26320⁷⁵²⁶⁵ ≡ 26320 ≡ 7211
Qu'on fasse le calcul comme cela. Ou qu'on le fasse (26320^5)^15053, ça revient évidemment au même.
Cad en disant 26320⁵≡9958
9958¹⁵⁰⁵³ ≡ 26320 ≡ 7211

Bref. L'erreur, c'était juste d'espérer que la calculette réponde 26320, et pas 7211. Ce qui est la même chose. Sauf que, évidemment, aucune calculette ne donne une réponse plus grande que 19109 quand on lui demande de faire un calcul modulo 19109

EDIT: Si votre but était de faire de la crypto et de vérifier la capacité à retrouver le message original avec une clé asymétrique (en gros, on part de 26320, on arrive à 9958, puis on retrouve 26320), ce qu'on peut soupçonner vu votre question précédente (à laquelle vous avez répondu vous même avant que j'ai eu le temps de m'y intéresser, donc j'ai pas vraiment lu ; si ce n'est que j'ai vu que c'était de l'arithmétique modulaire pour la crypto), ben, tout simplement, vous ne pouvez pas avec 19109.

Anonyme · Answer

Où est l'erreur ??? Cherche dans ton cul !

Algèbre modulaire pouvez-vous vérifier mon calcul ?

2 réponses