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Y a-t-il équivalence entre considérer que Ep=mgz + cst et considérer que g=cst (Acte IV ;-)?
@Pierre : "g=cste => g non cst"
bravo, tu es un fin réthoricien. ^_^
je suis quand même chagrin, parce que vous avez réussi a me perdre.
que pensez vous de ces réserves sur les deux sens de l'équivalence :
<=
si on part du principe que g=cst,
qu'est ce qui nous dit que la force P qui en découle est consevative (je crois qu'elle ne l'est plus), et alors comment justifier l'utilisation de W(P)=-DELTA(Ep) ?
=>
si on part du principe que Ep=mgz + cst,
çà nous mène à dg/dz = -2g(z)/z , or g=cst n'est pas solution de cette équation différentielle.
bref, j'ai l'impression qu'il n'y a pas de rapport entre le fait qu'on peut considérer g(z) constante quand z varie peu, et le fait qu'on peut considérer que Epg(z)=mg(z1)z + cst quand z varie peu autour de z1.
donc en conclusion g=cst => Ep=mgz +cst
(dans l'approximation du champ central par un champ parallèle, je suis pas sur que çà marche avec g=cst central)
remarque (gratuite) :
une solution de dg/dz=-2g(z).z , c'est g=2/z qui donne Ep = 2m.ln(z) +cst , qu'on peut rapprocher au voisinage de R par 2m.ln(R) +m.2/R.z =m.g(R).z + cst
en attendant l'Acte V qui achèvera cette pièce.
2 réponses
- Anonymeil y a 1 décennieRéponse favorite
… l'énergie potentielle de pesanteur Ep est la limite locale de l'énergie potentielle de gravitation Epg.
Pour passer de la première à la seconde, il faut formaliser constante(s) et variable(s) dans la première expression, et faire le développement limité qui s'impose quand l'altitude z est faible devant le rayon terrestre :
Epg = = - m.g○.R. (1+z/R)- ¹ ≈ - m.g○.R(1 – z/R) = -m.g○.R + m.g○.z = m.g○.z + cste ≈ m.g.z + cste
Il est alors clair que ce développement implique au premier ordre que Ep = m.g○.z + cste
C'est seulement ensuite qu'on peut examiner g(r) dans la même optique pour pouvoir justifier la seconde approximation.
Dans l'approximation de la symétrie sphérique de la Terre, on a
si z ≥ 0, ⇒ g(r) = g○.(1+z/R)-²
► si z/R <<1 ⇒ g(r) = g○.(1+z/R)-² ≈ g○(1-2z/R)
Cela n'apporte rien de transcendant, sinon que si z >> R, on a effectivement g(r) ≈ g○ et donc que Ep = m.g○.z + cste ≈ m.g.z + cste sans donner de hiérarchie.
Disons donc que l'hypothèse, en revanche, z << R implique également que
█ ♦ Epg ≈ Ep = m.g○.z + cste
█ ♦ Ep ≈ m.g.z + cste
Voilà pour le raisonnement physique.
█████
Maintenant, l'aspect mathématique de la question :
Ep = m.g.z + cste ⇐?⇒ g = cste
♦ sens ⇐?
▬▬▬▬▬
g = cste |
(m.g↑ = - ∇↑Ep) } ⇒ Ep = m.g.z + cste
- m.g = - (dEp/dz) |
(▲ le signe " - " prend en compte que g↑ est dirigé négativement sur l'axe Oz)
♦ sens ?⇒
▬▬▬▬▬
Ep = m.g.z + cste |
(m.g↑ = - ∇↑Ep } ⇒ P (= - m.g) = m.dg/dz.z + m.g
m.g = (dEp/dz) |
Si on admet P = - m.g (- selon la convention de signe), il semble bien que ce soit le cas, ce qui est bien normal, car ce qui prime physiquement, est " Ep = m.g○.z + cste", qui ne devient " Ep = m.g.z + cste" que si on admet g = g○ ‼
██████
♦ sens ⇐?
▬▬▬▬▬
La force P↑ = -m.g.ez↑ est bien conservative dans le cadre attribué, puisqu'elle dérive au signe près de m.g.z
♦ sens ?⇒
▬▬▬▬▬
C'est bien exactement ce que je cherchais à signifier …
Source(s) : [Pierre qui nous roule ne veut pas admettre que Epg, énergie potentielle de gravitation, et Ep, énergie potentielle de pesanteur, sont deux fonctions différentes, la seconde étant une approximation de la première par linéarisation, ou développement limité au voisinage du rayon terrestre] ▬▬▬ Mon p'ti p…pierre, je fais certainement des erreurs par désinvolture, et pour aller vite, car je suis aussi salarié. J'ai peut-être initialement confondu Ep et Epg, mais ça n'a pas duré longtemps. Faut dire que je ne travaille pas pour l'aérospatiale, et qua j'ai rarement l'usage de Epg. J'ai appris depuis, grâce aux questions de QR, aux quelles tu réponds si rarement [?] Quant au ε, je l'ai introduit initialement parce que j'avais un doute sur la signe, et que ça allait plus vite de le recalculer par convergence avec Ep que de me lancer dans une recherche … ▼ Toujours est-il que je progresse, au contraire de pierre qui roule et qui ne rebondit que quand il se sent agressé dans sa fierté, au point d'attribuer des MR assez croquignolesques : j'adÔre … [n'arrête pas surtout : je sens que ça vient] - il y a 1 décennie
1) Si g=cste, alors P=cste, le travail du poids est donc W = -mg Îz = -ÎEp et donc Ep=mgz+cste
2) Si Ep=mgz+cste, ma précédente question (Acte III) a montré qu'il fallait supposer g non constant (sinon on obtient Ep=-mgz + cste)
Ainsi g=cste => Ep=mgz+cste => g non cst
Voilà ! J'espère avoir éclairci la question!
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@ Arrial: voyons, ta mémoire te joue des tours! C'est toi qui confondait Epp et Epg. Tu nous as d'abord dit que Epg = mgz, puis ε MG/r. Et chaque fois c'est moi qui t'ai sorti de l'erreur. Bien sûr, je pourrai te donner les liens si tu me les demande.
Bien le bonjour chez toi :=))
