Comment démontrer qu'une suite est géométrique ?

Si la suite est géométrique, alors pour tout n, V(n+1) = K * V(n) avec K constant. Pour vérifier cela, faites le rapport de V(n+1)/V(n) et vous verrez que K ne dépend pas de n.

Si je ne me suis pas trompé K = -1/2. Contrôle : V(0) = 2/5 et V(1) = -1/5 donc K = -1/2

Il suffit de calculer V(n+1)/V(n)

V(n+1) / V(n) = [ (U(n+1) - 1) / (U(n+1) - 2) ] / V(n)

= [ (2 - 1 - U(n)) / (2 + 2 + 2U(n)) ] / V(n)

= [ ( 1 - U(n)) / (4 + 2U(n)) ] / V(n)

= - 1/2 V(n) / V(n)

= - 1/2

Vn est donc une suite géométrique de raison - 1/2

Montrer que V(n+1)/Vn est une constante indépendante de n.

Ici:

V(n+1)=(U(n+1)-1)/(U(n+1)+2)

=(2/(1+Un)-1)/(2/(1+Un)+2)

=(2-1-Un)/(2+2+2Un)

=(1-Un)/(4+2Un)

= -(Un-1)/2(Un+2)

= (-1/2)Vn.

Donc V(n+1)/Vn= -1/2 (indépendant de n).

Donc (Vn) est une suite géométrique de raison q= -1/2.

Vn=V0.(-1/2)^n

V0=(U0-1)/(U0+2)

=(3-1)/(3+2)

=2/5.

Donc Vn=(2/5).(-1/2)^n,pour tout n dans IN.

Petit ajout:

Il faut bien sûr montrer que Vn ne s'annule jamais.

Définition de Vn:

Montrer que Un n'est jamais égal à -2

U(n+1)=f(Un) avec f(x)=2/(1+x)

Si x> -1,alors f(x)>0,et donc f(x)> -1.

U0=3> -1,donc U1=f(U0)> -1,et ainsi de suite.

On utilise implicitement un raisonnement par récurrence.Je ne vois toujours pas comment m'en passer.

Donc Un> -1,pour tout n dans IN.

Et donc Un n'est jamais égal à -2.

Donc (Vn) est parfaitement définie.

Il reste donc à montrer que Vn ne s'annule jamais.

Vn=0 <=> Un=1

Etudions f sur ] -1,+oo[:

f(x)=2/(1+x)

f est décroissante de +oo à 0.

Donc il existe un seul a tel que f(a)=1

f(a)=1 <=> 2/(1+a)=1

<=> 2=1+a

<=> a=1

Donc si x est différent de 1,alors f(x) aussi.

Comme U0=3<>1,alors U1<>1,et ainsi de suite.

Donc Un<>1 pour tout n (là encore raisonnement par récurrence implicite)

Et donc Vn<>0 pour tout n dans IN.

JE NE SAIS PAS§ TROP DIFFICILE§ IL N4Y -AT-IL PAS PLUS D4INFORMATION>,