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Determiner un entier naturel N?
Bonsoir a tous:
Comment peut on determiner N (entier naturel) tel que :
sa division par 2 le reste est 1
sa division par 3 le reste est 1
sa division par 4 le reste est 1
sa division par 5 le reste est 1
sa division par 6 le reste est 1
sa division par 7 le reste est 0
Merci pour vos reponses
Tres bonne reppnse Matt Merci
Excellente reponse de Francois G , elle est bocou plus mathematique Bravo
6 réponses
- Francois GLv 6il y a 1 décennieRéponse favorite
N -1 doit être multiple de 2,3,4,5,6.
Donc N-1 est un multiple de leur ppcm qui est 60.
Donc N = 60k+1
De plus N = 0 (mod 7)
<=> 4k = -1 = 6 (mod 7)
<=> k = 5 (mod 7)
<=> k = 7m+5
Ainsi N= 60 (7m+5) + 1 = 420m + 301
Le plus petit de ces nombres est 301
- Cubitus (Pr.)Lv 5il y a 1 décennie
Il est clair que le nombre doit être un multiple de 7
N = k.7
Prenons la table de mutiplication par 7
7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
pour que le reste de la division par 2 soit 1 il faut que
k = 2d + 1
pour que le reste de la division par 3 soit 1 il faut que
k = 3t + 1
pour que le reste de la division par 4 soit 1 il faut que
k = 4q + 3
pour que le reste de la division par 5 soit 1 il faut que
k = 5c + 3
pour que le reste de la division par 6 soit 1 il faut que
k = 6s + 1
avec d, t, q, c, s entiers.
Il ressort des conditions 2, 3, 6 que k doit être un mutiple de 6 +1
(car 6 est multiple de 2 et de 3)
soit k = 6s + 1
Il ressort des conditions 4 et 5 que k doit être un mutiple de 20+3
(car 20 est mutiple de 4 et 5)
soit k = 20v + 3
d'où
6s + 1 = 20v + 3
6s = 20v + 2
3s = 10v + 1
Comme 10 mod 3 = 1 il faut que v = 2, 5, 8...
2 est le plus petit v qui convient d'où s=7 et k = 43
Le nombre en question est donc
43.7 = 301
Vérification
par 2 -> 1
par 3 -> 1
par 4 -> 1
par 5 -> 1
par 6 -> 1
par 7 reste 0
Zut ! François à encore une fois trouvé une démonstration plus élégante !
Mais pourquoi faire simple et élégant si on peut faire compliqué et impressionnant ?
- MattLv 5il y a 1 décennie
1*2*3*4*5*6+1
Bonne remarque Paola. Je n'avais pas vu le zéro tout en bas. J'ai donc corrigé ma réponse... Merci.
- il y a 1 décennie
Salut.
Je pense avoir trouvé la réponse à ton problème.
Alors il s'agit de l'entier naturel 301 car:
301/2=150+1
301/3=100+1
301/4=75+1
301/5=60+1
301/6=50+1
et enfin, 301/7=43+0
Donc, si j'ai bien compris, normalement c'est ça.
- il y a 1 décennie
a) 3, car 3/2= 1, reste=1
b)7, car 7/3=2 reste=1
c)13, car 13/4=3 reste 1
d) 11, car 11/5=2, reste 1
e) 7, car 7/6=1, reste=1
f) 7, car 7/7=1, reste=0
attention la réponse de matt est fausse. si tu calcules le numéro en exécutant les multiplications, et que tu ajoutes 1, le resultat est 5041, non divisible par 7...le reste de telle division, donc, est différent de 0